Lundi 26 juin 2017
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Fourier3

Un article de IRM Cardiaque par Neteditions .

<--Transformée de Fourier Imagerie radiale Imagerie 2DFT-->


Image:Johann_Radon_150_180.jpg Johann Radon (1887-1956) [1], a formalisé en 1917 le principe de retroprojection selon lequel il est possible de reconstruire une structure à partir de ses projections.


Cette théorie est à la base de l'image tomographique (en coupe), même si d'autres types d'algorithme (itératifs notamment) peuvent également être utilisés.


Tout comme Fourier, Radon a développé sa théorie bien avant que les applications pratiques de ces concepts ne soient connus !


Principe de la retroprojection

Image:Retroprojection1.jpg Le principe de la retroprojection consiste à 'épandre' les projections.

Ainsi chaque point F(x,y) sera constitué par la somme des valeurs correspondantes P(alpha,u) sur l'ensemble des projections qui tournent autours de la structure à reconstruire, selon le schéma présenté ci-contre.

Les projections doivent balayer au moins 180° pour pouvoir effectuer la reconstruction.

Plus le nombre de projection est grand, plus la reconstruction sera précise.

Ce principe est bien explicité dans l'article de F. Dubois du CHU de St Etienne (revue de l'Acomen 1998) [2] .


Défauts induits par la retroprojection simple

Les illustrations ci-dessous détaillent certaines étapes du processus et montrent que la retroprojection simple n'est pas utilisable telle quelle car elle entraine des défauts de reconstruction. Un filtrage des projections sera nécessaire pour corriger ces défauts.

Image:Profil1_320_300.jpg Image:Profil4_413_300.jpg

On observe sur la figure de droite l'apparition de trainées claires 'parasites' correspondant au résidus des differents épandages effectués, ce qui constitue un défaut majeur du processus de retroprojection simple.

Image:Non_filtree.jpg

Cette animation montre la progression de la reconstruction à mesure que les projections s'accumulent. Le pourtour des structures réelles est entouré d'un halo de brouillard correspondant aux résidus de l'épandage ; rendant ainsi l'image floue et mal définie. Noter par ailleurs que dans ce processus de reconstruction, l'image reste pratiquement inintelligible jusqu'à ce que l'ensemble des projections balayant les 180° n'aient été colligées. Nous verrons qu'en imagerie 2DFT, plus communément utilisée en IRM, chaque profil de coupe n'a pas le même 'poids' et qu'un petit nombre de lignes centrales suffit à donner une image certes floue mais intelligible.

La retroprojection filtrée permet de corriger ces défauts

On peut montrer que pour corriger les défauts précédents, il faut appliquer un filtre sur chacune des projections afin de réduire les basses fréquences et d'augmenter les hautes fréquences qu'il contient. En pratique, ce filtrage est réalisé sur les coefficients de Fourier de ces projections (après leur avoir appliqué une transformée de Fourier). Le filtrage le plus simple est appelé le filtre de rampe car le facteur de multiplication appliqué aux coefficients de Fourier croit comme une rampe (représenté en rouge sur le graphique ci dessous) : de 0 pour la composante continue jusqu'à 1 pour les fréquences les plus élevées. L'illustration ci-dessous décompose les différentes étapes effectuée. Il se lit de gauche à droite pour la ligne du haut puis de droite à gauche pour la ligne du bas.

Image:Filtrage_rampe.jpg

Les projections (en haut à gauche) sont empilées pour former le sinogramme (haut-milieu). Le cadre en haut à droite correspond au tableau des coefficients de Fourier ; les fréquences négatives (-F) sont à gauche, la composante continue (O) est au milieu et les fréquences positives (+F) sont à droite. Le filtre de rampe (ligne oblique rouge) est appliqué à ces coefficients. Le tableau des coefficients filtrés est représenté en bas à droite. Le filtrage a été appliqué dans le domaine fréquentiel. Une transformé de Fourier inverse est effectuée pour retourner du domaine fréquentiel au domaine spatial. On retrouve un sinogramme filtré (cadre du bas au milieu) où l'on voit apparaitre des valeurs négatives (lignes sombres pointées par la flèche blanche épaisse). Ces valeurs négatives permettront de corriger les résidus d'épandages qui perturbaient la retroprojection simple. La retroprojection de ces profils filtrés (corrigés) conduit à l'image finale qui est satisfaisante (en bas à gauche).

L'effet du filtrage est illustré sur cet exemple où 4 projection seulement ont été réalisées :

Image:Effet_filtrage.jpg

Noter l'apparition de valeurs négatives dans l'image de la retroprojection filtrée (en bleu foncé).

Le voile propagé sur l’ensemble de l’image (résidus de l’épandage) est efficacement nettoyé et les contours des objets sont nets sur la reconstruction filtrée (à droite) comparativement à la retroprojection simple (à gauche).

En réalité le filtre de rampe est trop 'brutal' et accentue exagérément la contribution des hautes fréquences ce qui entraine des parasites dans l'image. Il est préférable d'atténuer le filtrage dans les plus hautes fréquences (apodisation) avec des filtres de type Hanning ou Hamming. Le choix des fréquences de coupure permet de rendre l'image plus 'dure' ou plus 'douce' comme on le fait également en scanographie.

Exemple d'application de la retroprojection filtrée en imagerie radiale IRM avec 128 projections :

Image:quir_128.jpg

En pratique, l'imagerie radiale est peu usitée en IRM. Deux avantages peuvent toutefois la rendre intéressante : 1) en repassant régulièrement (toutes les 30 ms par exemple) sur un même profil, il est possible d'extraire le déplacement des structures étudiées et ainsi d'effectuer le self gating sur les battements cardiaques sans aucun autre dispositif de synchronisation extérieur (ni ECG, ni capteur d'onde de pouls). 2) étant donné que les acquisitions des projections sont toujours surechantillonées x 2, il est possible de faire des images avec un petit champ de vue sans crainte d'effet gênant de repliement ce qui est surtout avantageux en incidence frontale (à cause des épaules et des bras).


<--Transformée de Fourier Imagerie 2DFT-->