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Fourier3

Un article de IRM Cardiaque par Neteditions .

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<--Transformée de Fourier Imagerie radiale Imagerie 2DFT-->


Image:Johann_Radon_150_180.jpg Johann Radon (1887-1956) [1], a formalisé en 1917 le principe de retroprojection selon lequel il est possible de reconstruire une structure à partir de ses projections.


Cette théorie est à la base de l'image tomographique (en coupe), même si d'autres types d'algorithme (itératifs notamment) peuvent également être utilisés.


Tout comme Fourier, Radon a dĂ©veloppĂ© sa thĂ©orie bien avant que les applications pratiques de ces concepts ne soient connus !


Principe de la retroprojection

Image:Retroprojection1.jpg Le principe de la retroprojection consiste Ă  'Ă©pandre' les projections.

Ainsi chaque point F(x,y) sera constitué par la somme des valeurs correspondantes P(alpha,u) sur l'ensemble des projections qui tournent autours de la structure à reconstruire, selon le schéma présenté ci-contre.

Les projections doivent balayer au moins 180° pour pouvoir effectuer la reconstruction.

Plus le nombre de projection est grand, plus la reconstruction sera précise.

Ce principe est bien explicité dans l'article de F. Dubois du CHU de St Etienne (revue de l'Acomen 1998) [2] .


DĂ©fauts induits par la retroprojection simple

Les illustrations ci-dessous détaillent certaines étapes du processus et montrent que la retroprojection simple n'est pas utilisable telle quelle car elle entraine des défauts de reconstruction. Un filtrage des projections sera nécessaire pour corriger ces défauts.

Image:Profil1_320_300.jpg Image:Profil4_413_300.jpg

On observe sur la figure de droite l'apparition de trainées claires 'parasites' correspondant au résidus des differents épandages effectués, ce qui constitue un défaut majeur du processus de retroprojection simple.

Image:Non_filtree.jpg

Cette animation montre la progression de la reconstruction Ă  mesure que les projections s'accumulent. Le pourtour des structures rĂ©elles est entourĂ© d'un halo de brouillard correspondant aux rĂ©sidus de l'Ă©pandage ; rendant ainsi l'image floue et mal dĂ©finie. Noter par ailleurs que dans ce processus de reconstruction, l'image reste pratiquement inintelligible jusqu'Ă  ce que l'ensemble des projections balayant les 180° n'aient Ă©tĂ© colligĂ©es. Nous verrons qu'en imagerie 2DFT, plus communĂ©ment utilisĂ©e en IRM, chaque profil de coupe n'a pas le mĂŞme 'poids' et qu'un petit nombre de lignes centrales suffit Ă  donner une image certes floue mais intelligible.

La retroprojection filtrée permet de corriger ces défauts

On peut montrer que pour corriger les dĂ©fauts prĂ©cĂ©dents, il faut appliquer un filtre sur chacune des projections afin de rĂ©duire les basses frĂ©quences et d'augmenter les hautes frĂ©quences qu'il contient. En pratique, ce filtrage est rĂ©alisĂ© sur les coefficients de Fourier de ces projections (après leur avoir appliquĂ© une transformĂ©e de Fourier). Le filtrage le plus simple est appelĂ© le filtre de rampe car le facteur de multiplication appliquĂ© aux coefficients de Fourier croit comme une rampe (reprĂ©sentĂ© en rouge sur le graphique ci dessous) : de 0 pour la composante continue jusqu'Ă  1 pour les frĂ©quences les plus Ă©levĂ©es. L'illustration ci-dessous dĂ©compose les diffĂ©rentes Ă©tapes effectuĂ©e. Il se lit de gauche Ă  droite pour la ligne du haut puis de droite Ă  gauche pour la ligne du bas.

Image:Filtrage_rampe.jpg

Les projections (en haut Ă  gauche) sont empilĂ©es pour former le sinogramme (haut-milieu). Le cadre en haut Ă  droite correspond au tableau des coefficients de Fourier ; les frĂ©quences nĂ©gatives (-F) sont Ă  gauche, la composante continue (O) est au milieu et les frĂ©quences positives (+F) sont Ă  droite. Le filtre de rampe (ligne oblique rouge) est appliquĂ© Ă  ces coefficients. Le tableau des coefficients filtrĂ©s est reprĂ©sentĂ© en bas Ă  droite. Le filtrage a Ă©tĂ© appliquĂ© dans le domaine frĂ©quentiel. Une transformĂ© de Fourier inverse est effectuĂ©e pour retourner du domaine frĂ©quentiel au domaine spatial. On retrouve un sinogramme filtrĂ© (cadre du bas au milieu) oĂą l'on voit apparaitre des valeurs nĂ©gatives (lignes sombres pointĂ©es par la flèche blanche Ă©paisse). Ces valeurs nĂ©gatives permettront de corriger les rĂ©sidus d'Ă©pandages qui perturbaient la retroprojection simple. La retroprojection de ces profils filtrĂ©s (corrigĂ©s) conduit Ă  l'image finale qui est satisfaisante (en bas Ă  gauche).

L'effet du filtrage est illustrĂ© sur cet exemple oĂą 4 projection seulement ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©es :

Image:Effet_filtrage.jpg

Noter l'apparition de valeurs négatives dans l'image de la retroprojection filtrée (en bleu foncé).

Le voile propagé sur l’ensemble de l’image (résidus de l’épandage) est efficacement nettoyé et les contours des objets sont nets sur la reconstruction filtrée (à droite) comparativement à la retroprojection simple (à gauche).

En réalité le filtre de rampe est trop 'brutal' et accentue exagérément la contribution des hautes fréquences ce qui entraine des parasites dans l'image. Il est préférable d'atténuer le filtrage dans les plus hautes fréquences (apodisation) avec des filtres de type Hanning ou Hamming. Le choix des fréquences de coupure permet de rendre l'image plus 'dure' ou plus 'douce' comme on le fait également en scanographie.

Exemple d'application de la retroprojection filtrĂ©e en imagerie radiale IRM avec 128 projections :

Image:quir_128.jpg

En pratique, l'imagerie radiale est peu usitĂ©e en IRM. Deux avantages peuvent toutefois la rendre intĂ©ressante : 1) en repassant rĂ©gulièrement (toutes les 30 ms par exemple) sur un mĂŞme profil, il est possible d'extraire le dĂ©placement des structures Ă©tudiĂ©es et ainsi d'effectuer le self gating sur les battements cardiaques sans aucun autre dispositif de synchronisation extĂ©rieur (ni ECG, ni capteur d'onde de pouls). 2) Ă©tant donnĂ© que les acquisitions des projections sont toujours surechantillonĂ©es x 2, il est possible de faire des images avec un petit champ de vue sans crainte d'effet gĂŞnant de repliement ce qui est surtout avantageux en incidence frontale (Ă  cause des Ă©paules et des bras).


<--Transformée de Fourier Imagerie 2DFT-->
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