Lundi 1 mai 2017
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Fourier2

Un article de IRM Cardiaque par Neteditions .

<--Plan de Fourier Notion de transformée de Fourier Imagerie radiale-->


Image:Joseph_Fourier_h220.jpg Joseph Fourier (1768-1830) [1] était un grand scientifique, mathématicien. Il s'est impliqué dans la révolution française et était préfet de l’Isère.

Ses travaux les plus connus ont porté sur les équation de propagation de la chaleur dans les solides, ce qui l'a conduit a développer la théorie de la « transformée de Fourier » (TF) selon laquelle toute fonction périodique peut se décomposer en somme de sinus et de cosinus comme l'illustre le dessin ci-dessous (extrait de 'Comprendre l'IRM...' de B Kastler [2], avec permission).

Selon ce principe, il est possible de passer d'un signal temporel S(t) à sa représentation en fréquences et inversement :

S(t)=a0+a1(coswt+sinwt)+a2(cos2wt+sin2wt)+…an(cosnwt+sinnwt)
avec a0...an les coefficients de Fourier, w=2.pi.F (où F est la fréquence).

Image:Courbe_TDF_.jpg

Image:signal_creneau.jpg Tout signal périodique peut se décomposer en somme de sinus et de cosinus de fréquences croissantes

La reconstruction est d’autant plus précise que le nombre d’harmoniques utilisées et plus élevé.

Pour le traitement informatique, les données doivent etre numérisées (discretisées) ce qui conduit aux formules de calcul indiquées ci-dessous (rappelons que l'expression exp(iwt) correspond à cos(wt)+isin(wt) )

TF





TF inverse

Image:Formule_Fourier.jpg TF





TF inverse

En pratique, ces calculs sont réalisés avec un algorithme particulier appelé FFT (Fast Fourier Transform, développé en 1942 et 1965 par Cooley et Tukey), qui réalise les opérations en Nlog2(N) au lieu de N*N. L'algorithme FFT permet une accélération majeure du temps de calcul mais sa mise en oeuvre exige un nombre de points qui doit être une puissance de 2.


<--Plan de Fourier Imagerie radiale-->